分式方程的列法需要结合实际难题中的数量关系，通过明确等量关系、设定未知数并建立方程来实现。下面内容是具体步骤及示例：
一、列分式方程的核心步骤
-
明确难题，设定未知数
根据题意，确定题目中的已知量、未知量，并合理设定未知数（如设某量为\(x\)）。
关键点：- 注意单位统一（如时刻、距离、速度等）。
- 优先用题干中的比较性描述（如“比……多”“是……的2倍”）作为等量关系依据。
-
找出等量关系
通过题目中的关键描述（如“相同时刻”“总量相等”）建立两个等量关系：- 一个用于表示其他量（如用\(x\)表示相关量）；
- 另一个用于列方程。
示例：
若甲的速度是乙的2倍，可设乙速度为\(x\)，则甲速度为\(2x\)，再利用时刻差列方程。
-
建立分式方程
将等量关系转化为分式方程，确保分母中含有未知数。
典型公式：- 行程难题：\( \frac\text路程}}\text速度}} = \text时刻} \)；
- 工程难题：\( \frac\text职业量}}\text效率}} = \text时刻} \)；
- 利润难题：\( \text总利润} = \text单件利润} \times \text数量} \)。
二、实际应用举例
例1：行程难题
题目：甲、乙两车从同一地点出发，甲的速度是乙的2倍，甲比乙少用2.5小时到达目的地。已知总路程650 km，求乙的速度。
列方程步骤：
- 设乙速度为\(x\) km/h，则甲速度为\(2x\) km/h。
- 时刻差等量关系：\( \frac650}x} – \frac650}2x} = 2.5 \)。
例2：工程难题
题目：某工厂甲车间生产的零件数是乙的1.5倍，若甲生产300个，求乙的产量。
列方程步骤：
- 设乙产量为\(x\)，则甲产量为\(1.5x\)。
- 直接列方程：\(1.5x = 300\)（需注意是否为分式方程，若涉及效率或时刻则可能需分式表达）。
例3：销售利润难题
题目：商店以120元售出80%商品后，剩余打8折出售，总利润500元。求进货量。
列方程步骤：
- 设进货量为\(x\)，则售出\(0.8x\)件，剩余\(0.2x\)件。
- 利润等式：\(0.8x \times (120-100) + 0.2x \times (120 \times 0.8 – 100) = 500\)。
三、技巧与注意事项
-
列表法辅助
用表格整理已知量、未知量及相关公式，避免遗漏信息。例如：
| 类型 | 速度 | 时刻 | 路程 |
|————|——-|————-|——|
| 甲车 | \(2x\) | \(\frac650}2x}\) | 650 |
| 乙车 | \(x\) | \(\frac650}x}\) | 650 |
通过对比时刻差列方程。 -
避免常见错误
- 单位不统一：如将小时与分钟混用；
- 忽略增根检验：分式方程可能因分母为零产生无效解，需代入验证；
- 误用整式方程：确保分母含未知数时才为分式方程。
四、拓展资料
列分式方程的核心是通过审题提炼等量关系，合理设元并转化为数学表达式。通过列表法、分类练习（如行程、工程、利润难题）可提升解题效率。遇到复杂难题时，可先分解为多个简单步骤，逐步建立方程。
