判断数列的单调性，可以通过下面内容技巧综合分析，具体选择取决于数列的形式和实际需求：
一、基本判定技巧
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差法（差分法）
- 原理：计算相邻两项的差值 \( a_n+1} – a_n \)。
- 若对任意 \( n \in \mathbbN}^* \)，有 \( a_n+1} – a_n > 0 \)，则数列严格递增；
- 若 \( a_n+1} – a_n < 0 \)，则数列严格递减；
- 若差值恒为0，则为常数列。
- 适用性：适用于任意形式的数列，是基础且最直接的技巧。
- 原理：计算相邻两项的差值 \( a_n+1} – a_n \)。
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商法
- 原理：对正项数列，计算相邻两项的比值 \( \fraca_n+1}}a_n} \)。
- 若比值恒 \( >1 \)，数列递增；
- 若比值恒 \( <1 \)，数列递减；
- 若比值恒为1，则为常数列。
- 注意：若数列含负数，需根据符号调整判断条件。
- 原理：对正项数列，计算相邻两项的比值 \( \fraca_n+1}}a_n} \)。
二、函数相关技巧
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造函数法
- 原理：将数列的通项公式 \( a_n = f(n) \) 转化为连续函数 \( f(x) \)，分析函数的单调性。
- 若函数在 \( x \geq 1 \) 时单调递增（或递减），则数列也单调递增（或递减）。
- 示例：若 \( a_n = \frac1}n} \)，对应函数 \( f(x) = \frac1}x} \) 在 \( x > 0 \) 时递减，故数列递减。
- 局限性：函数单调性不能完全等价于数列单调性，需单独验证。
- 原理：将数列的通项公式 \( a_n = f(n) \) 转化为连续函数 \( f(x) \)，分析函数的单调性。
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数法
- 原理：对可导函数 \( f(x) \)，若导数 \( f'(x) > 0 \)（或 \( <0 \)），则对应数列单调递增（或递减）。
- 适用性：适用于连续可导的数列（如指数、多项式形式），但需注意离散性与连续性的差异。
三、递推关系与数学归纳法
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推关系分析
- 原理：通过递推公式（如 \( a_n+1} = f(a_n) \)）推导单调性。
- 例如，若 \( a_n+1} \geq a_n \) 对所有 \( n \) 成立，则数列递增。
- 应用：常用于递推数列（如斐波那契数列）的单调性证明。
- 原理：通过递推公式（如 \( a_n+1} = f(a_n) \)）推导单调性。
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学归纳法
- 步骤：
- 基础步：验证初始项满足单调性假设（如 \( a_2 > a_1 \)）；
- 归纳步：假设 \( ak} > ak-1} \)，证明 \( a_k+1} > a_k \) 成立。
- 适用性：适用于递推数列或复杂通项公式的严格证明。
- 步骤：
四、独特数列的直接判断
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差数列
- 若公差 \( d > 0 \)，数列递增；若 \( d < 0 \)，数列递减。
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比数列
- 若公比 \( q > 1 \) 且所有项为正，数列递增；
- 若 \( 0 < q < 1 \) 且所有项为正，数列递减。
五、注意事项与综合应用
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格与非严格单调性
- 严格递增：要求 \( a_n+1} > a_n \)；
- 非严格递增：允许 \( a_n+1} \geq a_n \)（如常数列）。
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合有界性
- 单调有界数列必收敛，可利用这一性质判断极限存在性。
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杂数列的处理
- 对于非线性或含周期性的数列（如周期为4的数列 \( \2, -3, -\frac1}3}, \frac1}2}, 2, \ldots\} \)），需通过周期性分析单调性。
示例分析
目：判断数列 \( a_n = -3 \cdot 2^n-2} + 2 \cdot 3^n-1} \) 的单调性。
解法：
- 计算 \( a_n+1} – a_n = -3 \cdot 2^n-1} + 2 \cdot 3^n} – (-3 \cdot 2^n-2} + 2 \cdot 3^n-1}) \)；
- 化简得 \( a_n+1} – a_n = 2^n-2} \cdot \left(12 \cdot \left(\frac3}2}\right)^n-2} – 3\right) \)；
- 因 \( \left(\frac3}2}\right)^n-2} \) 递增且 \( 12 \cdot \left(\frac3}2}\right)^n-2} – 3 > 0 \)，故 \( a_n+1} > a_n \)，数列严格递增。
过上述技巧，可灵活选择适合的判定策略。实际应用中，建议优先使用作差法或构造函数法，复杂数列可结合递推关系和数学归纳法验证。
