定义与条件
高等数学中，函数的连续性一个基础而重要的概念，若函数 ( y = f(x) ) 在点 ( x_0 ) 的某个邻域内有定义，并且当自变量的改变量 ( Delta x ) 趋近于零时，相应的函数改变量 ( Delta y ) 也趋近于零，那么我们称函数 ( y = f(x) ) 在点 ( x_0 ) 处是连续的，对于函数 ( f(x) ) 在点 ( x_0 ) 处连续，需要满足的条件包括：函数在该点处有定义。
领会连续
对于“连续”这一概念，我们可以从下面内容几方面来领会：
函数在该处有定义：在考察的点 ( x_0 ) 上，函数 ( f ) 有确定的函数值 ( f(x_0) )。
函数在该处存在极限：即当 ( x ) 趋近于 ( x_0 ) 时，函数 ( f ) 的极限存在，记作 ( lim_x o x_0}} f(x) )。
连续点与可去间断点
在高等数学中，连续点与可去间断点有明显的区别：
连续点：在连续点上，函数的函数值与其在该点的极限值相等，其特性是函数在该点行为平滑，没有跳跃或突变。
可去间断点：在可去间断点上，函数的极限存在，但函数的函数值与该极限值不匹配。
拓扑学中的连续性
在拓扑学中，连续性的定义更为严格和抽象，它基于拓扑结构这一更深层次的数学结构，在这种定义下，连续函数可以描述为保持特定空间中两点之间邻近关系不变的映射，虽然这一概念较为抽象，但它为连续性提供了一个普遍且强大的数学框架，使得连续性的概念可以应用于广泛的数学对象。
高等数学中关于函数连续与可导的充要条件
连续与可导
连续：在某个区间上，任意点处的极限存在且等于该点处的函数值。
可导：在连续的基础上，该点的左右导数也要相等。
充要条件
连续的充要条件：在某点有定义，在该点存在极限，极限值等于该点的函数值。
可导的充要条件：函数在该点连续且左导数、右导数都存在并相等。
函数可导与连续的关系
定理：若函数 ( f(x) ) 在 ( x_0 ) 处可导，则必在点 ( x_0 ) 处连续。
关系：函数可导则函数连续；函数连续不一定可导；不连续的函数一定不可导。
高等数学中连续点与可去间断点的区别
区别
连续点：函数的函数值与其在该点的极限值相等，函数在该点行为平滑。
可去间断点：函数的极限存在，但函数的函数值与该极限值不匹配，通过适当的定义修正后可以成为连续点。
领会连续点和可去间断点的区别对于深入领会函数的连续性至关重要。
高等数学难题：什么是连续、可导、左极限、右极限？
概念
连续：函数在某一点的连续性要求该点的左、右极限存在且相等，并且等于该点的函数值。
可导：函数在某点是可导的，意味着其图像在该点应该是一条直线的切线，而不会有任何尖点或断裂。
左极限：当 ( x ) 从左侧趋近于某点时，函数的极限。
右极限：当 ( x ) 从右侧趋近于某点时，函数的极限。
关系
连续推出：左极限 = 右极限。
可导推出：左导数 = 右导数。
示例
函数 ( y = x – 1 ) 可以通过换元 ( t = x – 1 ) 来领会，当 ( x ) 趋近于 0 时，( sin x ) 可以替换成 ( x )。
连续的概念
定义
定义1：函数 ( f ) 在点 ( x_0 ) 的某邻域内有定义，若函数 ( f ) 在点 ( x_0 ) 有极限且此极限等于该点的函数值，即 ( lim_x o x_0}} f(x) = f(x_0) )，则称 ( f ) 在点 ( x_0 ) 连续。
定义2：连续的概念一个无缝、无间断的变化或序列，没有任何突变或跳跃。
连续的概念是指某一数学对象（如函数、数列、点集等）在某种意义下没有间断或跳跃地延伸或连接的性质，在数学中，连续通常与实数和函数的性质相关。
