矩形的性质与判定
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，具有平行四边形所有性质．
矩形的性质定理1矩形的四个角都是直角.
矩形的性质定理2矩形的对角线相等.
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
矩形的判定方法：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2.对角线相等的平行四边形是矩形；
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
我们用一个图直观的看一下矩形的判定：
1.(2019十堰)矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )
A.对边相等 B.对角相等
C.对角线相等 D.对角线互相平分
变式1：如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,
以下说法错误的是( )
A.∠ABC=90° B.AC=BD
C.OA=AD D.OA=OB
变式2：(内蒙古包头)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相
交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为点E,若∠EAC=2∠CAD,
则∠BAE=_______°.
变式3：(西宁中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,∠ACB＝30°,则∠AOB的大小为( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
变式4：(怀化中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于
点O,∠AOB=60°,AC=6cm,则AB的长是( )
A. 3cm B. 6cm C. 10cm D.12cm
变式5：(兰州中考)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,
∠ADB＝30°,AB＝4,则OC＝( )
A.5 B.4 C.3.5 D.3
变式6：(成都中考)如图,在矩形ABCD中,AB=3,对角线AC,BD相交于点O,AE垂直平分OB于点E,则AD的长为_______.
变式7：(2019徐州中考)如图,矩形ABCD中,AC,BD交于点O,
M,N分别为BC,OC的中点.若MN=4,则AC的长为_______.
变式8：如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,
点E,F分别是AO,AD的中点,若AB＝6 cm,BC＝8 cm,
则△AEF的周长是_______cm.
变式:9：(兰州中考)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,
CE∥BD,DE∥AC,AD＝4,AB＝2,则四边形OCED的面积为( )
2.直角三角形中,斜边长为12,则斜边上的中线长是( )
A.6 B.4 C.8 D.12
变式1：(漳州中考)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D,E,F
分别是三边的中点,且CF=3cm,则DE=_______cm.
变式2：(2017琼山)如图,DE为△ABC的中位线,点F在DE上,
且∠AFB=90°,若∠AB=6,BC=8,则EF=_______.
变式3：(大连中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,点E是AB的中点,CD=DE=a,则AB的长为( )
变式4：(西宁中考)如图,点O是矩形ABCD的对角线AC的中点,
M为AD的中点．若OM＝3,BC＝8,则OB的长为( )
A.5 B.4 C.3 D.6
变式5：(黔南州)如图,矩形ABCD的对角线AC的中点为O,
过点O作OE⊥BC于点E,连接OD,已知AB=6,BC=8,
则四边形OECD的周长为_______.
3.如图,在矩形ABCD中,AB=15,BC=20,则点B到对角线AC的距离是_______.
变式1:(2019安顺中考)若P是AC上一动点,
过点P作PE⊥AB于点E,PF⊥BC于点F,
连接EF,则线段EF的最小值是_____.
变式2:(宜宾中考)若点P是边BC上的一动点,则点P到
两条对角线AC，BD的距离之和是_____.
变式3：(鞍山中考)如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=2,O是
AD的中点,连接OB,OC,点E在线段BC上(点E不与B,C重合),
过点E作EM⊥OB于M,EN⊥OC于N,则EM+EN的值为______．
4. 在?ABCD中,AC,BD是对角线,如果添加一个条件,即可推出?ABCD是矩形,那么这个条件是( )
A.AB＝BC B.AC＝BD C.AC⊥BD D.AB⊥BD
变式1：(2017邵阳)如图已知?ABCD,对角线AC,BD相
交于点O,∠OBC=∠OCB.
求证：平行四边形ABCD是矩形.
变式2：(2019江西)如图,四边形ABCD中,AB＝CD,AD＝BC,
对角线AC，BD相交于点O,且OA＝OD.
求证：四边形ABCD是矩形.
变式3：(2019·临沂)如图,在平行四边形ABCD中,M,N是BD上两点,BM＝DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是( )
A.OM=0.5AC B.MB＝MO
C.BD⊥AC D.∠AMB＝∠CND
变式4：(广州期末)如图,在△ABC,AB＝AC,点D为BC的中点,
AE是∠BAC外角的平分线,DE∥AB交AE于E,则四边形
ADCE的形状是_______．
变式5：如图,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为O,
点E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点．
(1)则四边形EFGH是_______;
(2)若AC=8,BD=6,则S四边形EFGH=_______.
变式6：(平顶山二模)如图,在△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证:OE＝OF;
(2)若CE＝12,CF＝5,求OC的长;
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,
四边形AECF是矩形？并说明理由．
