匹配滤波器(相干探测信号脉冲压缩与匹配滤波技术)

匹配滤波器
1脉冲压缩技术
 雷达距离分辨率
对于单脉冲信号距离分辨率表达式

其中B为信号的带宽
,从上式子可以看出当T越大距离分辨率越大,同时带宽就越小。当信号的带宽减小,测距精度就减小。所以需要具有较大的带宽B,保证测距精度又可以达到较大的距离分辨率。
要实现窄脉冲的同时实现宽的带宽,就需要对宽脉冲进行频率,相位调制,就可以具有和窄脉冲相同的带宽,假设线性调频信号的脉冲宽度为T,由匹配滤波器的压缩后,带宽变为且,这个过程就是脉冲压缩。
2 匹配滤波器
任意一确知信号通过传递函数为的滤波器,在时刻输出的信号为

如果滤波器输入端同时输入白噪声,其功率谱密度为,则在滤波器输出噪声的功率谱密度有
所以,在任意时刻,输出的噪声均方值有
故有在滤波器输出的信噪比为
取等意味着最大信噪比。此时
K为任意常数。上式就是最佳匹配滤波器的表达式。根据帕赛瓦尔定理,已知
E即是信号光能量。把(2.6)代入(2.4)得到最大的信噪比为
从此式子可以看到最大信噪比取决于信号的能量与噪声的比值,与信号的波形没有关系。这样的滤波器称为匹配滤波器。匹配滤波器追求的最大信噪比,而不是保持输出信号不失真。
将(2.5)式子进行傅里叶反变换进行时域信号分析。
此式表明匹配滤波器的冲激响应是信号的时间镜像,但在时间轴上移了           t0 ,并乘以增益常数K。所以得到匹配滤波器的输出信号波形的时域表达式,根据卷积的性质有
式中为输入信号的自相关函数,定义为
根据自相关函数的性质,当t=t0时,自相关函数具有最大值,且等于信号的均方值。也就是说匹配滤波器的输出信号将在t=t0时刻达到最大值。
3 线性调频信号
脉冲压缩雷达最常见的调制信号是线性调频信号,接收时采用匹配滤波器压缩脉冲。
幅值为1的LFM信号的数学表达式为:
式中为载波频率,为矩形信号,分别表示上调频和下调频。

,是调频斜率,于是,信号的瞬时频率为。信号也可以写成如下形式

是信号的复包络。设发射脉宽10us,调频带宽30MHz,对
进行作图可得到
4 LFM脉冲的匹配滤波
信号的匹配滤波器的时域脉冲响应为
t0是使滤波器物理可实现所附加的时延。可以取t0=0,上式可以变成
 将信号的表达式代入上式就得到匹配滤波器的表达式h(t)

由此可以得到输入信号经过匹配滤波器后的输出信号为
当时,上式子化简后得到

当时,同样的推导可以得到
    
将上面两式子统一就得到输出的光信号为

当t=0 附近上式可以写为
归一化后的Sinc函数的表达式为
,与上式类似具有相同的函数形状。当
时,
。函数第一次过零点。间隔为
。当主瓣能量下降一半时认为是主瓣的宽度。

LFM信号的压缩前脉冲宽度为 T,经过匹配滤波后脉冲宽度为                            1/B ,就可以得到压缩比为
表明,压缩比就是信号的时宽和带宽的乘积。
对上面的推导用matlab进行数值模拟计算得到如下图,途中对时间做了归一化()。第一零点出现正在(即1/B)处,第一旁瓣峰值为相对主峰值幅度降低13.4dB。压缩后的脉冲宽度近似为1/B,此时相对幅度-4dB。
5  LFM加噪声后脉冲的匹配滤波
在输入为确知加白噪声的情况下,所得输出信噪比最大的线性滤波器就是匹配滤波器,设一个线性滤波器的输入信号为
其中为均值为零的平稳白噪声,其功率谱密度为 N0/2。
线性调频信号表达式
为了能进行 FFT 运算,需要对连续信号进行采样,其表达式为:
Ts 为采样周期,n=1,2,3…整体信号就是白高斯噪声是与信号                   
相加。用matlab进行模拟计算后得到,设置SNR=10;
在有噪声情况下的脉冲压缩处理,从下图可以看到经过脉冲压缩后信号

6匹配滤波器实现
通常采用FPGA或DSP来实现匹配滤波器,具体有时域和频域两种实现方法。
时域实现通常用于采样率不高,滤波器系数点数较少的情况,利用卷积方式完成滤波。通常FPGA中该种方式使用较多。因为采用这种方式,可以对回波进行连续处理,无需对数据进行存储。在乘累加过程中,采用提升运算时钟频率或以面积换时间的方式,可以较好的完成处理。而当采样率较高的情况下,为节省运算量,通常采用频域的方式完成滤波运算,具体流程图如下。
频域脉压FPGA实现:
首先将滤波器系数量化后存至ROM,调用FFT IP核完成回波的FFT处理,接着将回波FFT结果与滤波器系数进行点乘,最后再次利用FFT IP核完成点乘结果的IFFT运算(配置成逆FFT方式)。在运算过程中注意定点数的动态问题,及时进行截位。
频域脉压DSP实现:
DSP实现流程与FPGA大致一致,首先将滤波器浮点系数存至内存数组中,并利用FFT函数完成回波信号FFT,接着与系数进行点乘,而某些型号DSP函数库不提供IFFT函数,自己编写一方面比较繁杂,要满足不同点数,另一方面自己编写的函数优化程度可能也不及函数库内的函数。此时可考虑复用FFT函数。具体复用方式见如下推导。
DFT定义
IDFT定义

由上式可知,将点乘结果取共轭,并调用FFT函数完成FFT运算,最后除以FFT点数即可得到滤波结果。
几种常见的匹配滤波器:直接形式的匹配滤波器,转置结构的匹配滤波器,采用分布式算法的匹配滤波器和折叠式匹配滤波器。
1直接形式的匹配滤波器
2折叠滤波器
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3转置结构的匹配滤波器

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